বিন্যাস (Permutation):
কতগুলি জিনিস থেকে প্রত্যেক বার কয়েকটি বা সব কয়টি জিনিস একবার নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলা হয়। n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস হতে প্রত্যেকবার r(r<n) সংখ্যক জিনিস নিয়ে প্রাপ্ত বিন্যাস সংখ্যাকে p(n,r) দ্বারা প্রকাশ করা যায়। উদাহরণ স্বরূপ, p,n,r তিনটি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর থেকে প্রত্যেক বার 2 টি অক্ষর নিয়ে সাজালে আমরা পাই, pr, rp, rq, qr, qp, pq এখানে সাজানো সংখ্যা বা বিন্যাস সংখ্যা 6।
সমাবেশ (Combination):
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি একবারে নিয়ে যত প্রকারে নির্বাচন বা দল গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ বলে। n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রতে ̈কবার r (r < n) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে সাধারণত C(n,r) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, a, b, c অক্ষর তিনটি থেকে প্রতি বার দুইটি করে অক্ষর নিয়ে দল গঠন করলে আমরা তিনটি দল পাই- যেমন ab বা ba, ac বা ca, bc বা cb. অতএব, তিনটি বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার দুইটি করে নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশের সংখ্যা 3।
বিন্যাস ও সমাবেশ এর মধ্যে পার্থক্য:
কতগুলি জিনিস থেকে প্রত্যেক বার কয়েকটি বা সব কয়টি জিনিস একবার নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায়। বিন্যাস ও সমাবেশ এর মধ্যে পার্থক্য নিম্নরূপ-
১। তাই আবার বলছি যখন অর্ডার বা ধারাবাহিকতা গুরত্বপূর্ণ তখন আমরা ব্যাবহার করব Permutation বা বিন্যাস। অন্যদিকে অর্ডার বা ধারাবাহিকতা গুরত্বপূর্ণ নয় তখন ব্যবহার করব Combination বা সমাবেশ। মনে রাখার বিষয় হলো ২টিই বাছাই করার প্রক্রিয়া কিন্তু একটিতে ধারাবাহিকতা রক্ষা করতে হয় এবং অন্যটিতে হয় না।
২। বিন্যাস বা সমাবেশে ফ্যাক্টরিয়াল চিহ্ন ব্যাবহার করা হয় যা আশ্চর্যবোধক চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। কোন সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল হলো ১ থেকে ঐ সংখ্যা পর্যন্ত সব সংখ্যার গুণফল যা আগেই দেখিয়েছি। আর একটি বিষয় মনে রাখলে উপকৃত হবেন সেটি হলো একেবারে অংকের শেষে ফ্যাক্টরিয়ালের গুণ করবেন তার আগ পর্যন্ত ফ্যাক্টরিয়াল রেখে দিবেন।
৩। আর কোন সময় কোনটা ব্যাবহার করবেন সেটা মনে রাখার জন্য Password শব্দটি মনে রাখবেন। কেননা পাসওয়ার্ডের ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা জরুরী। যখন ধারাবাহিকতা জরুরী তখন Permutation বা বিন্যাস। আর Password যেমন P দিয়ে শুরু তেমনি Permutation ও P দিয়ে শুরু। অন্যদিকে যখন ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ নয় তখন Combination বা সমাবেশ।
৪। মনে করি, তিনটি বিভিন্ন অক্ষর a, b, c দেওয়া আছে। এদের দুইটিকে একবার নিয়ে সাজালে পাওয়া যায় : ab, ba, ac, ca, bc, cb. তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, তিনটি অক্ষর হতে দুইটিকে একবারে নিয়ে ছয় রকমে সাজানো যায়। অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 6. আবার, সবগুলি একবারে নিয়ে সাজালে পাওয়া যায় : abc, acb, bca, bac, cab, cba, অর্থাৎ এ ক্ষেত্রেও বিন্যাস সংখ্যা = 6.
অন্যদিকে a, b, c অক্ষরগুলির দুইটি করে একবারে নিয়ে ক্রম নির্বিশেষে ab, ac, bc এই তিনটি সমাবেশ গঠন করা যায়। অর্থাৎ এ ক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা = 3. মনে রাখতে হবে যে, সমাবেশ ক্রমের উপর নির্ভর করে না বলে a ও b এর কোনটি আগে কোনটি পরে এই প্রশ্ন উঠে না, সেজন্য ab ও ba অভিন্ন সমাবেশ। অর্থাৎ a ও b একসাথে নিয়ে কেবল একটি দলই গঠন করা যায়। আবার তিনটি অক্ষরকে একত্রে নিয়ে একটি মাত্র সমাবেশ (abc) গঠন করা যায়।